作者 / Andy华仔

哈哈，这个李永乐老师有讲过，著名数学家约翰 – 伯努利面对多位著名数学大神依然不虚，神仙打架“最速降线问题”的故事。

什么叫“最速降线”问题呢？这个我们还得从一位远古大神——伽利略开始聊起。

伽利略的伟大我们无需赘述，但大神偶尔也有犯错误的时候。1630 年的时候，他提出了这个著名的“最速降线”问题：

在一个斜面上，摆两条轨道，一条是直线，一条是曲线，起点高度以及终点高度都相同。两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落，曲线的小球反而先到终点。这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度，所以先到达。然而，两点之间的直线只有一条，曲线却有无数条，那么，哪一条才是最快的呢？

找出这一条“小球滑落速度最快的曲线”的问题，就被称为“最速降线”问题。

然而，受限于当时的科研条件与思想束缚，伽利略错误地认为这条线应该是一条圆弧。很快人们证实了他的错误，但也没有给出正确的解法，这个问题就这么一直遗留了下来。一直到 1696 年，我们的主人公——约翰 – 伯努利登场。

1696 年，约翰 – 伯努利根据自己的刻苦钻研与“一闪而过的灵感”，解决了这个困扰了人们几十年的“最速降线问题”。（答主非科班出身，具体解决方法各位可自行搜索或查阅相关资料）他非常地兴奋，这一壮举足以使他留名世界数学史，永载史册。但是约翰并没有马上把自己的结果发表，因为在他心目中，有一个嫉恨了很长时间的人，他要利用这个问题把这个人的风头盖过去，他一定要证明自己比这个人更伟大、更聪明。

而这个被他嫉恨了一辈子的人，就是他的亲哥哥——雅各布 – 伯努利。

瑞士的伯努利家族非常有名，诞生过许许多多的伟大人物，各种数学家、物理学家、科学家、银行家、大商人更是不计其数。著名的“伯努利方程”“伯努利不等式”“伯努利定理”等，均来自于这个家族的成员。

约翰和雅各布的父亲是一个非常有钱的银行家，他生下雅各布跟约翰两个儿子之后，对他们给予了厚望。老伯努利对两个儿子说：你们将来学习的第一专业都要选商学，如果实在对商学不感兴趣，可以去学医学或神学，但千万不要不要去学什么数学，那是奇技淫巧，是“不务正业”。结果两个儿子都对数学展现出了浓厚的兴趣与极强的天赋，先后走上了研究数学这条“不归路”，把他们的老爹气得够呛。但事已至此也没有办法，老伯努利依然尊重了他们的选择，也间接促成了伯努利家族在世界数学史上无可动摇的地位。

虽然是亲兄弟，而且同样研究数学，但约翰却非常嫉妒他的哥哥雅各布。约翰比雅各布小了 13 岁，当约翰进入大学学习的时候，雅各布已经在这所大学当教授了，而且声名远扬。身边的同学一提起伯努利，只知道伯努利教授，而不知道还有个学生伯努利，这让约翰非常生气。就连有女孩子给约翰写信，开头的称呼也是“敬爱的伯努利教授”——这一看就是寄错了人，这就让约翰更加生气了。于是约翰想方设法，处心积虑，一定要把哥哥压下去，一定要证明自己比雅各布更聪明。

现在，机会来了。约翰已经解决了最速降线问题，但他不急着发表，而是听从了老师的建议，将这一问题发表在老师主编的一本叫《教师学刊》的杂志上，向全欧洲的数学家们公开挑战。约翰说我已经解决了这个问题，但我先不说，你们可以看一下问题，然后提出自己的解决方法，寄信给我，到时候我们再来比较谁的答案最好。截止日期为今年年底，我会把所有收到的答案刊登在杂志上，由观众来评价孰优孰劣。

挑战书发出去后，约翰就天天等着来信。结果到了年底一看，一共就只有两份答案。一个是他自己的，一个是他老师的。那么他的老师到底是谁呢？其实也是一位我们非常熟悉的数学大神——莱布尼茨。

莱布尼茨一看，说你这不行啊，你这完全没有达到目的啊。这样吧，你把公布日期再往后延，延长到明年的复活节。同时你想让谁回答，你得给他写信，你要让他知道有这么一个挑战，他才会回复你。

约翰听从了老师的建议，开始给指定的数学家写信。当然，他最想灭掉的就是他哥哥雅各布。但同时还有一个人，他也一定要灭掉，杀杀他的威风。这个人就是世界闻名的大科学家——牛顿。

当时的莱布尼茨和牛顿正为了“谁是微积分的发明人”这一问题争得不可开交。双方都认为是对方剽窃了自己的劳动成果，是“小偷”，因此结的梁子很深。这一问题到最后也没有得到妥善的解决，于是人们只好把两个人的名字都加进了微积分的公式当中，以他们的名字来命名。这就是著名的“牛顿 – 莱布尼茨公式”。

两个生前争得你死我活的死对头，死后名字却以这样一种方式结合在了一起，真是莫大的讽刺啊！

说回当时，约翰作为莱布尼茨的学生，自然也对牛顿十分厌恶，他就想趁机也把牛顿灭了，给老师报仇。然而，事实证明：他想太多了。

牛顿当时已经 50 多岁了，脑子不像年轻时那么灵光。而且他还在英国皇家铸币局工作，白天工作了一天，晚上回到家时已是疲惫不堪。他在拆信时偶然发现了约翰的来信，顿时火冒三丈。不单因为约翰是代表恩师莱布尼茨来向他挑战的，而且字里行间，还充满了对以牛顿为代表的英国科学家的鄙夷和不屑。

牛顿非常愤怒，他说：我最无法忍受的就是他们小看英国数学家的成就。于是他晚饭也不吃了，花了一个晚上的时间，解决了这个“最速降线问题”。此时已是凌晨四点，牛顿此时才心满意足，回床上睡觉去了。

牛顿大神充分向我们展示了什么叫“你大爷永远是你大爷”。约翰花了好几个月的时间才解决的问题，牛顿用了一个晚上就解决了。就天赋与才能来说，两人根本就不在一个档次。

当然，约翰也给他哥哥雅各布写了信，结果一周之后就收到了回信，解答也是正确的。这个速度虽然比不上牛顿，但相比于约翰来说，也是要强得多。这更让约翰气得不轻。

到此，已经有四位大神参与了这个问题的解决。但如果仅有这么几个人的话，怎么对得起“诸神之战”这个称呼！

约翰有一个学生，也是一个天才数学家。他在杂志上看到了老师的挑战，顿时感觉技痒难耐，于是他也给老师约翰写了一封信，阐述了自己的答案。这个学生的名字叫做：洛必达。

至此，约翰已经收到了包括他自己、恩师莱布尼茨、哥哥雅各布、恩师的死对头牛顿、学生洛必达，以及其他数学爱好者的好几份答案。他虽然讨厌雅各布和牛顿，但也保持了一个学者的基本操守，将他们的答案通通在杂志上发表了，由读者来评论孰优孰劣。

从各位大神的解法中我们可以看到，洛必达、牛顿、莱布尼茨用的都是微积分法，大同小异，只是在细枝末节上有一些差别。而约翰的方法则使用的是费马原理，他的方法是答案中最为天才，灵巧的，但相对的，对于普通人来说也比较难以理解。相比之下，雅各布则使用的是一种叫“变分法”的方法，也很灵巧，而且易于理解。但这个变分法并不是雅各布提出来的，而是约翰的另一个学生提出来的。这个学生的名字叫做：欧拉。

不对不对，放错图了，是这位：

欧拉生的比较晚，他偶然从老师约翰 – 伯努利那里了解了这个著名的“最速降线问题”。此时，虽然距离 1696 年的“诸神之战”的盛况已经过去了 20 多年，但他依然立刻就对这个问题产生了浓厚的兴趣。

他在观看了几位“大神”的答案之后，认为他们虽然全部解答正确，但只有师伯雅各布的方法最有研究价值。但雅各布虽然解决了这个问题，却没有把它总结成一套系统的理论。于是欧拉下定决心，要把师伯雅各布的方法总结成一套系统性的理论，求出最速降线问题的“一般解法”，这就是“变分法”。

欧拉为变分法理论的形成做出了巨大的贡献，但这个方法仍然不够完备。一直到几十年后，另一位天才数学家横空出世，向“最速降线”这一困扰了人们 100 多年的问题发起了最后的挑战。这位数学家的名字叫——拉格朗日。

拉格朗日在欧拉研究的基础上，加入了自己的理解，提出了著名的“欧拉 – 拉格朗日方程”，为“变分法”理论的形成画上了一个完美的句号。欧拉和拉格朗日经过不懈的努力，共同给出了“最速降线问题”的“一般解法”，也终于能够给这一“世纪难题”盖棺定论了。

回顾这一场“世纪对决”，从 1630 年问题被提出，到 1696 年的“诸神之战”，再到 18 世纪欧拉和拉格朗日给出了完美的解答，真的是一段荡气回肠的历程。约翰 – 伯努利是最早解决这一问题的人，但他过于狂妄自大，而且心胸狭隘，被后来的大神们一个个“按在地上摩擦”。但也正因为他敢于公开挑战的这一“壮举”，才发生了后面这一系列的轶事，给世界数学史增添了浓墨重彩的一笔。对于此，真不知该说他幸还是不幸呢。

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附：李永乐老师讲“最速降线问题”的视频链接：

数学家有嫉妒心是有多可怕？李永乐老师讲最速降线和伯努利家族“宫斗”_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili

李永乐老师讲的比我好多了，而且人家是专业人士，对于“变分法”以及“费马原理”都有很详尽的解释（不像我这个半吊子），有兴趣的可以去看一下哦。

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附二：最速降线问题的一般解法（来源：百度百科）

来源：知乎